Generalized-Relative-Entropy Type Distances between some Branching Processes and their Diffusion Limits

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2011-06-14
Issue Year
2011
Authors
Kammerer, Niels Bahne
Editor
Abstract

We derive exact values respectively bounds of Hellinger integrals and power divergences -- which are generalizations of the relative entropy -- between two members of some fixed class of stochastic processes. Furthermore, we give some applications to asymptotical distinguishability (contiguity, entire separation) as well as to Bayesian decision making and Neyman-Pearson testing. In the first part, consists of all (discrete-time and discrete-space) Poissonian Galton-Watson branching processes without immigration (GW) and with immigration (GWI), where we allow for all types of criticality. In the second part, is the class of (continuous-time and continuous-space) Cox-Ingersoll-Ross-type (CIR) diffusion processes which are also known as Feller-square-root-type diffusions. Moreover, we obtain results for sequences in a special subclass of GW(I) processes which converge to CIR processes; in particular, the outcoming (bounds of the) limit Hellinger integrals, limit power divergences and limit relative entropies are compared with their counterparts within class .

Abstract

In der vorliegenden Arbeit berechnen wir exakte Werte bzw. Ober- und Unterschranken von Hellinger-Integralen und Potenz-Divergenzen -- die Verallgemeinerungen der relativen Entropie konstituieren -- zwischen zwei Mitgliedern einer fixierten Klasse von stochastischen Prozessen. Des Weiteren vollführen wir Anwendungen in Bezug auf die asymptotische Unterscheidbarkeit (contiguity, entire separation) sowie auf die Bayessche Entscheidungstheorie und die Neyman-Pearsonsche Testtheorie. Im ersten Teil besteht aus allen (zeit- und raum-diskreten) Poissonschen Galton-Watson-Verzweigungsprozessen ohne Immigration (GW) und mit Immigration (GWI), wobei wir alle Kritikalitätstypen zulassen. Im zweiten Teil ist die Klasse aller (zeit- und raum-kontinuierlichen) Cox-Ingersoll-Ross Diffusionsprozesse (CIR), die auch unter dem Namen Feller-Quadratwurzel-Diffusion bekannt sind. Unter anderem generieren wir auch Resultate für Folgen aus einer Teilklasse von GW(I)-Verzweigungsprozessen die gegen CIR-Diffusionsprozesse konvergieren; im Speziellen vergleichen wir die gewonnenen (Schranken der) Grenzwert-Hellinger-Integrale, Grenzwert-Potenz-Divergenzen und Grenzwert-Relative-Entropien mit deren Analoga aus Klasse .

DOI
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