Higher dimensional and supersymmetric extensions of loop quantum gravity

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Doctoral Thesis
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Thurn, Andreas

In this work, we extend loop quantum gravity (LQG) both, to higher dimensions and supersymmetry (i.e. supergravity theories), thus overcoming the current limitation to 3+1 dimensions with standard model matter fields. On the one hand, this gives a proof of principle that LQG is in accordance with these two theoretical concepts, and on the other hand hopefully allows contact with superstring/M - theory, which necessarily is supersymmetric and formulated in ten or eleven spacetime dimensions. Symmetry arguments suggest that supergravity theories in the corresponding dimensions constitute the low energy effective field theory limit of superstring/M - theory. This makes a study of the loop quantisation thereof, which we start here, a promising endeavour at the border between the two approaches. In more detail, our findings are the following: firstly, a new canonical formulation for general relativity in D + 1 spacetime dimensions (D ≥ 2) on a Yang Mills theory phase space is presented for the first time, with the core properties that 1. the canonical variables encoding the metric information are a real connection and its real conjugate momentum, in particular satisfying the standard canonical Poisson bracket relations, 2. the gauge group can be chosen to be a compact group (namely SO(D + 1)) for both, Lorentzian and Euclidean signature spacetimes, and 3. the system of constraints is first class (in Dirac’s terminology). Up to now, such a formulation was only known for D = 3 (and D = 2), corresponding to Ashtekar Barbero variables, constituting the classical foundation of the loop quantisation programme. The quantisation procedure itself is formulated almost independently of the number of spacetime dimensions and the choice of compact gauge group, and therefore the lack of higher dimensional analogues of LQG only was caused by the missing classical canonical formulation satisfying 1. - 3. Thus it is not surprising and we show explicitly that the new formulation we present can be quantised using the methods developed in the loop community straightforwardly to obtain LQG theories in higher dimensions. The formulation which we present is genuinely new in that it does not reduce to the Ashtekar Barbero formulation for D = 3, and furthermore for D > 2 comes with an additional set of constraints, the so called simplicity constraints, which pose the only conceptually new challenge when quantising. Interestingly, these constraints are not at all unknown in (quantum) gravity research, and in particular are a standard ingredient in the covariant approach to LQG called spin foam models. The formulation in this sense builds a novel bridge between the covariant and canonical approaches to LQG. The quantum anomalies known for this constraint from spin foams are recovered, which lead to problems when implementing it at the quantum level. We present some new proposals of how to deal with these problems. In the second part of this work, we give an extension of the above framework to the loop quantisation of a large class of Lorentzian signature supergravities, including in particular the D + 1 = 4 N = 8, D + 1 = 11 N = 1 and D + 1 = 10 N = 1 theories. Concretely, we incorporate standard and also non-standard matter fields, which appear in supergravity theories due to the requirement of supersymmetry, into the afore developed framework of higher dimensional LQG. Coupling to standard model matter fields has already been achieved in usual LQG and the results obtained there carry over to the case at hand. The only exception is the treatment of Dirac fermions, which needs slight adjustment: coming from an action principle, the Dirac field transforms in the spinor representation of the gauge group SO(1, D) for the physically relevant Lorentzian theory, but due to the strong similarity of the Lorentzian and the Euclidean Clifford algebras, the gauge group can be exchanged for SO(D + 1) to fit in with the gravitational degrees of freedom. Typical non-standard fields appearing in supergravity theories are the spin 3/2 Rarita Schwinger field (“gravitino”) on the fermionic side, and (Abelian) higher p-form fields as novel bosonic fields (i.e. generalisations of the Maxwell field to higher form degree). The former usually is a Majorana fermion (i.e. it is its own antiparticle) and therefore belongs to a real representation space of SO(1, D). In order to formulate supergravities in terms of SO(D + 1) gauge theories, we again have to exchange the gauge group SO(1, D) with SO(D + 1), but there is no action of SO(D + 1) on these real representation spaces, which hugely complicates the passage when compared to the case of Dirac fermions. We present a solution to this problem and for the first time, to the best of the author’s knowledge, provide a background independent Hilbert space representation for the gravitino field. Concerning novel bosonic fields, we exemplarily treat the three-form field (“three index photon”) of D + 1 = 11 N = 1 supergravity. Due to an additional Chern Simons term in the action, this field is not a simple generalisation of the Maxwell field to three-forms, but actually becomes self interacting and the equivalent of the electric field is not gauge invariant. We propose a reduced phase space quantisation with respect to the equivalent of the Gauß constraint, and the background independent representation we use is given by a state of Narnhofer-Thirring type, which already has been used in the loop literature in Thiemann’s treatment of the closed bosonic string. In the third part of this work, as a first application of the new variables, we extend the isolated horizon treatment (a quasi-local notion of black holes) in LQG to higher dimensions. In D = 3, the use of Ashtekar Barbero variables induces a Chern Simons theory on the horizon and the quantisation thereof and subsequent state counting led to the derivation of the famous Bekenstein Hawking entropy formula for black holes from LQG. Here, we study (non-distorted) isolated horizons in 2(n + 1) dimensional spacetimes and find that using the new variables induces an SO(2(n+1)) Chern Simons theory thereon. Since this theory, unlike its D = 3 counterpart, has local degrees of freedom, the quantisation and finally rederivation of the entropy formula become significantly more intricate and are left for further research. We want to stress that several aspects of both, the higher dimensional as well as the supersymmetric extension, definitely deserve further study to actually catch up with the current status of usual canonical LQG. In the non-supersymmetric case, this concerns mainly the implementation of the simplicity constraint and its interplay with the dynamics. In the supersymmetric case, of course the supersymmetry constraint needs intensive study, in particular its role in the quantum super Dirac algebra. We hope that the generalisation of LQG to higher dimensions and supersymmetry achieved in this work will spark further development to clarify the mentioned open problems and finally lead to new interrelations between LQG and superstring/M - theory.


In dieser Arbeit verallgemeinern wir Schleifenquantengravitation (LQG) sowohl auf höhere Dimensionen als auch auf Supersymmetrie (d.h. Supergravitationstheorien). Damit wird die bestehende Limitation der LQG auf 3+1 Dimensionen und Materiefelder des Standardmodells aufgehoben. Dies beweist einerseits, dass LQG prinzipiell mit diesen beiden theoretischen Konzepten in Einklang gebracht werden kann. Andererseits weckt es Hoffnung, dass neue Anknüpfungspunkte zu Superstring- und M - Theorie ermöglicht werden, da diese Theorien notwendigerweise supersymmetrisch sind und in zehn beziehungsweise elf Raumzeitdimensionen formuliert werden müssen. Symmetrieargumente legen nahe, dass sich diese Theorien im Niederenergielimes effektiv durch Supergravitationstheorien in eben diesen Dimensionen beschreiben lassen. Die Untersuchung der Schleifenquantisierung der entsprechenden Supergravitationstheorien, mit der wir in dieser Arbeit beginnen, stellt daher ein vielversprechendes Unterfangen an der Grenze zwischen den beiden Ansätzen dar. Präziser formuliert lauten unsere Ergebnisse wie folgt: Wir präsentieren erstmalig eine kanonische Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie in D + 1 Raumzeitdimensionen (D ≥ 2) auf einem Yang Mills Phasenraum mit den zentralen Eigenschaften: 1. Die kanonischen Variablen, die die metrische Information tragen, sind ein reeller Zusammenhang und ein dazu konjugierter reeller Impuls, die insbesondere die kanonischen Poissonklammerrelationen erfüllen. 2. Als Eichgruppe kann sowohl für die lorentzsche als auch die euklidische Theorie eine kompakte Gruppe gewählt werden (in unserem Fall SO(D + 1)). 3. Die Zwangsbedingungen sind alle von erster Klasse (in Diracs Terminologie). Eine solche Formulierung war bisher nur in drei und vier Dimensionen bekannt, die Ashtekar Barbero Formulierung, welche die klassische Basis für LQG darstellt. Das Programm der Schleifenquantisierung selbst ist fast gänzlich unabhängig von der Anzahl der Raumzeitdimensionen und der Wahl der kompakten Eichgruppe formuliert, weswegen das Fehlen von höherdimensionalen Analoga der LQG alleine dem Nichtvorhandensein der klassischen kanonischen Formulierung zuzuschreiben ist, welche die obigen Anforderungen 1. - 3. erfüllt. Darum ist es nicht verwunderlich, dass die Methoden der Schleifenquantisierung direkt auf die hier präsentierte Formulierung anwendbar sind, um höherdimensionale Schleifenquantengravitationstheorien zu erhalten. Dies arbeiten wir explizit aus. Die Formulierung, die wir präsentieren, ist insofern wirklich neu, als dass sie sich für die Wahl D = 3 nicht auf die bekannte Ashtekar Barbero Formulierung reduziert. Stattdessen finden wir für D > 2 eine zusätzliche Zwangsbedingung, die sogenannte ”Simplicity“ Zwangsbedingung, die die einzige konzeptionell neue Herausforderung bei der Quantisierung darstellt. Diese Zwangsbedingung ist interessanterweise keineswegs unbekannt in der (Quanten-) Gravitationsforschung und taucht insbesondere generell in Spinschaummodellen auf, die auch kovarianter Ansatz zur LQG genannt werden. In diesem Sinne stellt unsere Formulierung eine neue Verbindung zwischen kovarianter und kanonischer LQG her. Für diese Zwangsbedingung treten Quantenanomalien auf, die schon von den Spinschaummodellen her bekannt sind und die zu Problemen bei der Implementierung der Zwangsbedingung auf Quantenebene führen. Wir stellen einige neue Lösungsansätze hierfür vor. Den zweiten Teil dieser Arbeit stellt die Erweiterung des obigen Rahmenwerks auf die Schleifenquatisierung einer ganzen Klasse von lorentzschen Supergravitationstheorien dar, die insbesondere die D + 1 = 4 N = 8, die D+1=11 N =1 und die D+1=10 N =1 Theorien umfasst. Konkreter untersuchen wir dazu die Kopplung von Standard- und außergewöhnlichen Materiefeldern an die bis dahin untersuchte Vakuumgravitationstheorie, die in Supergravitationstheorien wegen den Anforderungen der Supersymmetrie vorkommen. Die Kopplung von Standardmaterie wurde für die LQG bereits erforscht und die Ergebnisse aus der vierdimensionalen Theorie sind auch auf die neue Formulierung anwendbar. Die einzige Ausnahme bilden Diracfermionen, bei denen nachgebessert werden muss: Ausgehend von einer Wirkung transformieren sie in der Spinordarstellung der Eichgruppe SO(1, D), aber wegen der starken Ähnlichkeit der lorentzschen und euklidischen Clifford Algebren kann die Eichgruppe gegen SO(D + 1) getauscht werden. Das Diracfeld fügt sich so in die Behandlung des gravitativen Anteils der Theorie ein. Bezüglich der außergewöhnlichen Materiefelder tritt in Supergravitationstheorien im fermionischen Sektor typischerweise das Spin 3/2 Rarita Schwinger Feld (”Gravitino“) auf und auf bosonischer Seite sind höhere p-Form Felder (d.h. Verallgemeinerungen des Maxwellfeldes auf höhere Formgrade) zu finden. Ersteres ist normalerweise ein Majoranafermion (d.h. es ist sein eigenes Antiteilchen) und gehört damit zu einem reellen Darstellungsraum der SO(1, D). Um nun auch Supergravitationstheorien als SO(D + 1) Eichtheorien zu formulieren, muss die Eichgruppe SO(1, D) erneut gegen SO(D + 1) getauscht werden. Aber auf den reellen Darstellungsräumen existiert keine Wirkung der Gruppe SO(D + 1), was den Eichgruppenwechsel verglichen mit dem Fall des Diracfeldes enorm erschwert. Wir finden eine Lösung für dieses Problem und konstruieren, nach bestem Wissen des Autors erstmalig, eine hintergrundunabhängige Hilbertraumdarstellung für das Gravitino. Als Beispiel für die neuartigen bosonischen Felder betrachten wir das Dreiformfeld (”Dreiindexphoton“) der D + 1 = 11 N = 1 Supergravitation. Dieses Feld stellt keine triviale Erweiterung des Maxwellfeldes auf Dreiformen dar, da es wegen eines zusätzlichen Chern Simons Terms in der Wirkung selbstwechselwirkend ist. Das führt unter anderem auch dazu, dass das Äquivalent des elektrischen Feldes nicht eichinvariant ist. Wir führen eine Quantisierung des bezüglich des Pendants der Gauß Zwangsbedingung reduzierten Phasenraumes durch. Eine hintergrundunabhängige Darstellung erhalten wir durch Verwendung eines Zustandes vom Narnhofer-Thirring Typ, wie er in der Literatur zur Schleifenquantisierung bereits von Thiemann in seiner Behandlung des geschlossenen bosonischen Strings benutzt wurde. Im dritten Teil der Arbeit erweitern wir schließlich als erste Anwendung der neuen Variablen die Behandlung von isolierten Horizonten (einer quasi- lokalen Beschreibung schwarzer Löcher) in der LQG auf höhere Dimensionen. In vier Raumzeitdimensionen induziert der Gebrauch der Ashtekar Barbero Variablen eine Chern Simons Theorie auf dem Horizont. Eine Quantisierung der entsprechenden Horizontfreiheitsgrade und anschließendes Zählen der Mikrozustände führte zur Herleitung von Bekensteins und Hawkings berühmter Entropieformel für schwarze Löcher innerhalb der LQG. In dieser Arbeit untersuchen wir (nicht-deformierte) isolierte Horizonte in 2(n+1)-dimensionalen Raumzeiten und finden, dass aus dem Gebrauch der neuen Variablen eine SO(D+1) Chern Simons Theorie auf dem Horizont resultiert. Diese hat jedoch, im Gegensatz zu ihrem dreidimensionalen Gegenstück, lokale Freiheitsgrade, was die Quantisierung und Herleitung der Entropieformel signifikant erschwert. Beide Punkte müssen in zukünftiger Forschungsarbeit weiter untersucht werden. Es ist zu betonen, dass einige Aspekte sowohl von der höherdimensionalen als auch von der supersymmetrischen Erweiterung weiterer Forschung bedürfen, um den gleichen Stand wie die aktuelle vierdimensionale LQG zu erreichen. Im nicht supersymmetrischen Fall betrifft dies hauptsächlich die Implementierung der Simplicity-Zwangsbedingung und sein Zusammenspiel mit der Dynamik. Im supersymmetrischen Fall werfen vor allem die Supersymmetrie Zwangsbedingung und insbesondere ihre Rolle in der Quanten-Super-Diracalgebra neue Fragen auf. Wir hoffen, dass die in dieser Arbeit erzielte Verallgemeinerung der LQG auf höhere Dimensionen und Supersymmetrie weitere Forschung zur Klärung dieser Fragen anregt und schließlich zu neuen Anknüpfungspunkten zwischen LQG und Superstring/M - Theorie führt.

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