Galerkin Lie group variational integrators

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2023-06-12
Issue Year
2023
Authors
Leitz, Thomas
Editor
Abstract

This thesis starts with overview of the fundamentals of Lie groups and quaternions in order to give readers a smooth entry to the later chapters. Therein the central concept of a constraint Lie group and the relationship with the null space method are explained with examples. It follows an introduction to continuous mechanics on Lie groups, Hamiltonian mechanics and Nother’s theorem. This topic is then extended to a two-dimensional space-time to later allow the modelling of geometrically exact beams. In order to derive a variational Lie group integrator, a discrete version of the forementioned Lagrangian mechanics is introduced, together with the necessary interpolation methods for the derivation of the Galerkin basis functions. Computational approaches for solving the discrete Euler-Lagrange equations are discussed. The derived method is then compared to the discrete null-space method and the well-known RATTLE algorithm. The work concludes with the application of the method in the form of numerical examples to simulate rigid body dynamics (as an example of a Galerkin Lie group integrator) and geometrically exact beam dynamics (as an example of a multisymplecitc Galerkin Lie group integrator).

Abstract

Diese Dissertation beginnt mit einem Überblick über die Grundlagen von Lie-Gruppen und Quaternionen um dem Leser den Einstieg in die folgenden Kapitel zu erleichtern. Darin wird das Konzept von eingeschränkten Lie-Gruppen und deren Verhältnis zur Nullraummethode anhand von Beispielen erklärt. Es folgt eine Einführung in die kontinuierliche Mechanik auf Lie-Gruppen, Hamiltonmechanik und das Noether-Theorem. Dieses Thema wird anschließend um eine zweidimensionale Raumzeit erweitert um in den Folgekapiteln die Modellierung von geometrisch exakten Balken zu erlauben. Um die Herleitung von variationellen Lie-Gruppen-Integratoren zu ermöglichen, wird eine diskrete Version der genannten Lagrange-Mechanik eingeführt, zusammen mit den nötigen Inter- polationsmethoden für die Herleitung der Galerkin-Basis-Funktionen. Numerische Lösungsver- fahren für die diskreten Euler-Lagrange-Gleichungen werden diskutiert. Die so hergeleitete Methode wird mit der diskreten Nullraummethode und dem bekannten RATTLE-Algorithmus verglichen. Abschließend wird die Anwendung der hergeleiteten Verfahren anhand von numerischen Beispielen gezeigt. Zum einen die Simulation der Starrkörperdynamik (als Beispiel für einen Galerkin-Lie-Gruppen-Integrator) und zum anderen die Simulation der geometrisch exakten Balkendynamik (als Beispiel für einen multisymplektischen Galerkin-Lie-Gruppen-Integrator).

Series
Schriftenreihe Technische Dynamik
Series Nr.
7
DOI
Faculties & Collections
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