Higher-order congruence relations on affine moment graphs

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2018-03-15
Issue Year
2018
Authors
Kitanov, Ksenija
Editor
Abstract

In this thesis we study the structure algebra Z of the stable moment graph (a moment graph that exhibits a certain periodicity property—namely, its edge labels are invariant under translation by an element of the finite coroot lattice) for the case of the affine root system A_1. For a field k and the symmetric algebra S over k associated with the coroot lattice, the structure algebra Z is an S-algebra and in particular, it is an S-module. We study its S-module structure and construct an S-basis. We actually construct two bases: one comes from the perspective of linear algebra, the other comes from the perspective of moment graph theory.

By “setting c equal to zero” in the structure algebra Z, where c denotes a central element of the affine Kac-Moody algebra sl_2, we obtain the S^fin-module Z_c=0, where S^fin denotes the symmetric algebra associated with the finite coroot lattice. This module is “locally finite”, i.e. it can be described in terms of the finite root system A_1 and we show that it is determined by a set of certain divisibility relations. These relations can be regarded as a generalization of ordinary moment graph relations that define sections of sheaves on moment graphs, and because of this we call them higher-order congruence relations.

Furthermore, the module Z_c=0 inherits the algebra structure from the structure algebra Z. We examine this algebra structure on Z_c=0 by computing the structure constants.

The obtained results apply to an arbitrary affine root system—the studied phenomena occur in all root directions. Within the scope of applications and generalizations of the subgeneric results, the same pattern as in Kato’s theorem appears in our setting of (sheaves on) moment graphs, which enables a categorification of Kato’s theorem.

Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir die Strukturalgebra Z des stabilen Impulsgraphen (eines Impulsgraphen, der eine gewisse Periodizitätseigenschaft besitzt – seine Kantenbeschriftungen sind invariant unter Translation um ein beliebiges Element des endlichen Kowurzelgitters) für den Fall des affinen Wurzelsystems A_1. Für einen Körper k und die mit dem Kowurzelgitter assoziierte, symmetrische Algebra S über k ist die Strukturalgebra Z eine S-Algebra und insbesondere ein S-Modul. Wir betrachten die S-Modulstruktur von Z und konstruieren eine Basis. Wir konstruieren eigentlich zwei Basen: Eine Basis kommt aus der Perspektive der linearen Algebra, die andere kommt aus der Perspektive der Impulsgraphentheorie.

Indem wir in der Strukturalgebra Z “c gleich null setzen”, wobei c ein zentrales Element der affinen Kac-Moody-Algebra sl_2 bezeichnet, erhalten wir den S^fin-Modul Z_c=0, wobei S^fin die mit dem endlichen Kowurzelgitter assoziierte, symmetrische Algebra bezeichnet. Dieser Modul ist “lokal endlich”, d.h. er kann durch das endliche Wurzelsystem A_1 beschrieben werden und wir zeigen, dass er durch eine Menge gewisser Teilbarkeitsrelationen bestimmt ist. Diese Teilbarkeitsrelationen können als eine Verallgemeinerung gewöhnlicher Impulsgraphenrelationen, die Schnitte von Garben auf Impulsgraphen definieren, betrachtet werden. Deswegen nennen wir sie Kongruenzrelationen höherer Ordnung.

Außerdem erbt der Modul Z_c=0 die Algebrastruktur von der Strukturalgebra Z. Wir untersuchen diese Algebrastruktur auf Z_c=0, indem wir die Strukturkonstanten berechnen.

Die erhaltenen Ergebnisse gelten für alle affinen Wurzelsysteme – die betrachteten Phänomene treten in alle Wurzelrichtungen auf. Im Rahmen der Anwendungen und der Verallgemeinerungen von den subgenerischen Ergebnissen erscheint das gleiche Muster wie in Katos Satz in unserem Umfeld der (Garben auf) Impulsgraphen. Das ermöglicht eine Kategorifizierung von Katos Satz.

DOI
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