Simulation of Distributed Parameter Systems by Transfer Function Models

Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
Issue Year
Schäfer, Maximilian

Most real-world systems are distributed parameter systems. This means that their dynamics depend not only on their temporal, but also on their spatial behaviour. Particularly, their parameters are not concentrated, but distributed over their spatial volume. Well-investigated examples include the sound of a guitar string, which depends on its spatial oscillation on the guitar, or an electrical transmission line, whose resistance is dependent on its length. Distributed parameter systems also occur naturally in the human body, where the transport of particles through a blood vessel is influenced by its spatial and temporal properties. An abstraction of the real world delivers a comprehensive mathematical description of distributed parameter systems in terms of initial-boundary value problems, which are derived by the first principles of physics. Initial-boundary value problems describe the dynamics of a distributed parameter system by partial differential equations, where its temporal initial state and its spatial boundary behaviour is modelled by suitable initial and boundary conditions. The analysis of natural existing distributed parameter systems as well as the design of synthetic distributed parameter systems are very important tools that may be employed to analyse the dynamics of particle transport in the human body from a communications point of view, or to create a digital guitar synthesizer. Therefore, it is indispensable to obtain suitable models to simulate the spatio-temporal dynamics of distributed parameter systems. The main challenge is to choose a suitable modelling technique which leads to a model that meets the predefined requirements. In the literature, a considerable number of different modelling techniques is found, each with its own advantages and disadvantages. These modelling techniques may be roughly divided into two different categories: numerical methods and analytical methods. Most numerical methods apply a suitable discretization rule to a set of partial differential equations. They lead to powerful simulation algorithms which are capable of simulating spatially complex physical problems in a very accurate way. However, these methods often have a very high computational complexity and provide only little insight into the influence of parameters on the output signal. In contrast to that, analytical methods try to find an explicit solution of an initial-boundary value problem before a discrete algorithm is established. Most analytical methods are based on well-investigated techniques from mathematics and systems theory. The derived models allow to establish a relationship between input and output variables of a system in terms of its parameters. Furthermore, they can lead to low-complexity algorithms with real-time capability by the application of a convenient discretization method. However, the elegance of analytical methods decreases for non-linear systems. Therefore, they are mostly applied to distributed parameter systems which can be described mathematically by linear initial-boundary value problems. The choice of a suitable modelling technique thus depends strongly on the distributed parameter system to be modelled and the requirements on the simulation model. If exact numerical results of a spatially complex distributed parameter system are required, numerical methods are preferable. However, if an exact closed-form description is necessary – for the analysis of a distributed parameter system, for example – analytical methods are advantageous. The modelling procedure used in this thesis is the Functional Transformation Method. This procedure contains diverse functional transformations, i.e., a Laplace and a Sturm-Liouville transformation. Finally, a model is formulated in terms of multidimensional transfer functions. The functional transformation method belongs to the class of analytical modelling techniques. But as most other analytical methods, the functional transformation method is not suitable for complex spatial shapes, non-linear distributed parameter systems and for complex boundary behaviour. Then the method loses its elegance and no explicit solution is obtained as numerical evaluations have to be involved. Nevertheless, analytical methods are a desired approach for the modelling of distributed parameter systems. Therefore, this thesis marks a starting point in overcoming some of the previously mentioned problems of analytical modelling techniques, i.e., of the functional transformation method. By developing suitable extensions it is possible to derive an explicit model of a distributed parameter system which includes the influence of complex boundary behaviour. Although the procedure of the functional transformation method is already formalised, the first goal of this dissertation is to improve its formulation. As an extension, an operator-based version of the involved Sturm-Liouville transformation is incorporated into the functional transformation method. Applying this extension variant to an initial-boundary value problem, a multidimensional state space description is obtained as a solution, which constitutes the model of the underlying distributed parameter system. This formulation as a state space description exhibits several advantages: it constitutes a unified solution of the functional transformation method and allows its analysis and modification by concepts from control and systems theory. The formulation of the simulation model in terms of a state space description is the basis for the second goal of this dissertation. The functional transformation method is extended by adapting concepts from control theory to incorporate the influence of complex boundary behaviour by the design of feedback loops. First, the complex boundary behaviour is separated from the system and it is modelled with a generic simple boundary behaviour which defines the open loop system. The complex boundary behaviour is used to design a feedback matrix which is attached to the simple model to form the closed loop system that fulfils the desired complex boundary behaviour. In particular, the feedback matrix shifts the eigenvalues of the open loop system into a position where they fulfil the complex boundary behaviour. With the developed concept it is possible to model distributed parameter systems with complex boundary behaviour in an explicit form. The same concept can be used to incorporate other physical effects into the model of a distributed parameter system. Furthermore, the concept allows to model interconnected systems, which builds the basis for a block-based modelling approach of interconnected distributed parameter systems. Applying the developed techniques to specific problems from different fields of application, their validity is confirmed in the third part of this dissertation. Specifically, the techniques are employed to model musical systems, electrical transmission lines and biological systems in the context of molecular communications. Within these applications, the developed methods are used to incorporate complex boundary behaviour and physical effects. In addition, general system modifications to change the timbre of a musical system are shown. Furthermore, two biological systems are interconnected by the design of a connection matrix. Where possible, the modelling results are compared to numerical simulations or measurements. All considered problems show that the developed concepts are suitable for the modelling of distributed parameter systems and constitute a meaningful extension to the functional transformation method.


Die Dynamik der meisten realen Systeme hängt nicht nur von ihrem zeitlichen, sondern auch von ihrem örtlichen Verhalten ab. Die Parameter dieser Systeme sind nicht auf einen Ort konzentriert, sondern örtlich über ihr Volumen verteilt. Diese Art von Systemen nennt man verteilt-parametrische Systeme. Anschauliche Beispiele sind z.B. eine Gitarrensaite, deren Klang von ihrer örtlichen Schwingung auf der Gitarre abhängt, oder eine elektrische Leitung, deren Widerstand über ihrer Länge verteilt ist. Auch im menschlichen Körper treten verteilt-parametrische Systeme auf. So ist der Transport von Partikeln durch ein Blutgefäß beeinflusst von dessen zeitlichen und örtlichen Eigenschaften. Durch physikalische Gesetze ist es möglich, die Vorgänge in realen verteilt-parametrischen Systemen zu abstrahieren. Diese mathematische Beschreibung basiert auf Anfangs-Randwert-Problemen. Sie beschreiben die Dynamik eines verteilt-parametrischen Systems mithilfe von partiellen Differentialgleichungen. Der zeitliche Anfangszustand eines Systems wird durch Anfangsbedingungen definiert. Am örtlichen Rand wird das Verhalten eines verteilt-parametrischen Systems durch passende Randbedingungen modelliert. Die Untersuchung und das Design von synthetischen verteilt-parametrischen Systemen ist sehr relevant in unterschiedlichsten Bereichen der Forschung und Industrie, z.b. zur Analyse des Partikeltransports im menschlichen Körper aus der Sicht eines Kommunikationstechnikers oder zum Entwurf von digitalen Gitarren-Synthesizern. Daher ist es unabdingbar, Modelle zu entwickeln, die es ermöglichen, das zeitliche und örtliche Verhalten eines verteilt-parametrischen Systems zu reproduzieren. Damit ein Modell seine vordefinierten Anforderungen erfüllt, ist es wichtig, die passende Modellierungstechnik für das jeweilige System auszuwählen. Allerdings gibt es eine immense Menge von unterschiedlichen Techniken, die alle diverse Vor- und Nachteile haben. Die vorhandenen Modellierungstechniken lassen sich grob in zwei Klassen einteilen: Numerische Methoden und analytische Methoden. Die meisten numerischen Methoden verwenden eine passende Methode zur Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen. Sie führen zu mächtigen Algorithmen, die sich vor allem zur exakten Simulation von verteilt-parametrischen Systemen mit sehr komplexen Geometrien eignen. Leider haben die meisten numerischen Methoden sehr hohe Laufzeiten und bieten nur wenig Aufschluss über den Einfluss von Systemparametern auf das Ausgangssignal eines Systems. Dahingegen versuchen analytische Methoden eine explizite Lösung für ein Anfangs-Randwert-Problem zu finden, bevor ein diskreter Simulationsalgorithmus hergeleitet wird. Diese Methoden basieren meist auf bekannten Techniken aus der Mathematik und der linearen Systemtheorie. Die entwickelten Modelle erlauben die Erstellung eines analytischen Zusammenhangs zwischen Ein- und Ausgangsvariablen eines Systems in Abhängigkeit seiner Parameter. Durch die Verwendung einer passenden Methode zur Diskretisierung ist es möglich, echtzeitfähige Simulationsalgorithmen zu entwickeln. Da die meisten analytischen Methoden auf Techniken der linearen Systemtheorie zurückgreifen, sind sie zur Modellierung von nicht-linearen Systemen nur bedingt geeignet. Aus diesem Grund werden sie meist zur Modellierung von linearen verteilt-parametrischen Systemen, oder solcher, die sich vereinfacht durch lineare Anfangs-Randwert-Probleme beschreiben lassen, verwendet. Die Wahl der passenden Modellierungstechnik ist also abhängig vom zu modellierenden verteilt-parametrischen System und von den Anforderungen an das resultierende Modell. Numerische Methoden sind zu bevorzugen, wenn exakte Simulationen von Systemen mit komplexen Geometrien erforderlich sind. Wenn allerdings explizite Systembeschreibungen benötigt werden, sind analytische Methoden vorzuziehen. In dieser Arbeit wird die Funktionaltransformationsmethode als Modellierungstechnik verwendet. Die Methode basiert auf der Anwendung mehrerer Funktionaltransformationen wie der Laplace- und der Sturm-Liouville-Transformation. Das Ergebnis der Funktionaltransformationsmethode sind Modelle die als mehrdimensionale Übertragungsfunktionen formuliert sind. Sie zählt zu der Klasse der analytischen Modellierungstechniken. Daher ist die Funktionaltransformationsmethode, wie die meisten analytischen Methoden, für die Modellierung von komplexen Geometrien, nicht-linearen Systemen und Systemen mit komplizierten Randbedingungen nur bedingt geeignet. Bei der Modellierung solcher Systeme kann keine explizite Lösung hergeleitet werden, so dass Techniken zur numerischen Auswertung verwendet werden müssen. Trotz dieser Einschränkungen sind analytische Methoden ein bevorzugter Ansatz zur Modellierung von verteilt-parametrischen Systemen. Die vorher erwähnten Probleme dieser Methode ist die Motivation für diese Arbeit. Sie soll ein Startpunkt sein, um einige dieser Probleme durch Erweiterung der Funktionaltransformationsmethode zu umgehen. Im Laufe dieser Arbeit wird die Methode um verschiedene Techniken ergänzt, um explizite Lösungen für verteilt-parametrische Systeme zu erhalten, die den Einfluss komplexer Randbedingungen und Effekte beinhalten. Auch wenn die Prozedur der Funktionaltransformationsmethode bereits sehr formalisiert ist, ist das erste Ziel dieser Dissertation die Verbesserung ihrer Formulierung. Die bereits existierende Methode wird durch eine operator-basierte Repräsentation der Sturm-Liouville-Transformation ergänzt. Deren Anwendung auf ein Anfangs-Randwertproblem ergibt ein Modell des verteilt-parametrischen Systems, formuliert als mehrdimensionale Zustandsraum-Darstellung. Die Formulierung der Lösung als Zustandsraum-Darstellung bietet mehrere Vorteile. Zum einen bildet sie eine einheitliche Form für das Modell eines verteilt-parametrischen Systems, die zunächst unabhängig vom zugrunde liegenden physikalischen Prozess ist. Zum anderen erlaubt die Formulierung die Analyse und Modifikation des Systems durch wohlbekannte Techniken aus der Systemtheorie und der Regelungstechnik. Die Darstellung der Lösung der Funktionaltransformationsmethode in Form einer Zustandsraum-Darstellung bildet die Basis für das zweite Ziel dieser Arbeit. Die Methode wird um Rückkopplungsstrukturen erweitert, die den Einfluss komplexer Randbedingungen realisieren. Inspiriert wurden diese Methoden durch Rückkopplungsstrukturen aus der Regelungstechnik. Zunächst wird der Einfluss der komplexen Randbedingungen vom eigentlichen System getrennt, und es wird mit einem generischen Randverhalten modelliert. Dieses System bildet den offenen Regelkreis (eng. open loop system). Das separierte Randverhalten wird dann verwendet, um eine Rückkopplungsmatrix zu konstruieren, die durch eine Rückkopplungsschleife in den offenen Regelkreis eingefügt wird. Dieses System bildet dann den geschlossenen Regelkreis (eng. closed loop system). Während der offene Regelkreis die generischen Randbedingungen erfüllt, genügt der geschlossene Regelkreis den komplexen Randbedingungen. Aus systemtheoretischer Sicht verschiebt die Rückkopplungsmatrix die Eigenwerte des offenen Regelkreises in eine Position, in der sie den komplexen Randbedingungen genügen. Durch die entwickelten Konzepte ist es möglich, explizite Lösungen für verteilt-parametrische Systeme mit komplexen Randbedingungen herzuleiten. Des Weiteren wird in der Arbeit gezeigt, wie das gleiche Konzept verwendet werden kann, um das Systemverhalten nicht nur auf dem Rand zu beeinflussen. Durch Adaption dieser Techniken können sie auch zur Modellierung von größeren Systemen aus verbundenen verteilt-parametrischen Systemen verwendet werden. Im dritten Teil dieser Dissertation werden die entwickelten Konzepte zur Modellierung von verteilt-parametrischen Systemen in verschiedenen Anwendungsgebieten eingesetzt, um ihre Funktionalität zu bestätigen. Im Detail werden die Methoden zur Modellierung von musikalischen Systemen, elektrischen Übertragungsleitungen und biologischen Systemen im Kontext der molekularen Kommunikation angewendet. Die vorher entwickelten Konzepte werden genutzt, um komplexe Randbedingungen und andere physikalische Effekte im Modell zu realisieren. Ein Beispiel für die Beeinflussung des gesamten Systemverhaltens wird anhand der Veränderung der Klangfarbe eines musikalischen Systems gezeigt. Des Weiteren werden die selben Techniken genutzt, um die Verbindung von zwei biologischen Systemen durch geeignete Verbindungsstrukturen zu modellieren. Wo es möglich ist, werden die Simulationsergebnisse der hergeleiteten Modelle mit numerischen Simulationen verglichen, um ihre Richtigkeit zu überprüfen. Alle betrachteten Anwendungen zeigen, dass sich die konzipierten Methoden sehr gut zur Modellierung von komplizierten verteilt-parametrischen Systemen eignen. Daher bilden sie eine bedeutende Erweiterung der Funktionaltransformationsmethode.

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