Simulation-Based Model Reduction for Partial Differential Equations on Networks

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2019-01-31
Issue Year
2018
Authors
Walther, Maximilian
Editor
Publisher
FAU University Press
ISBN
978-3-96147-156-0
Abstract

In this thesis, we consider model reduction for parameter dependent parabolic PDEs defined on networks with variable composition. For this type of problem, the Reduced Basis Element Method (RBEM), developed by Maday and Rønquist, is a reasonable choice as a solution on the entire domain is not required. The reduction method is based on the idea of constructing a reduced basis for every individual component and coupling the reduced elements using a mortar-like method. However, this decomposition procedure can lead to difficulties, especially for networks consisting of numerous edges. Due to the variable composition of the networks, the solution on the interfaces is extremely difficult to predict. This can lead to unsuitable basis functions and poor approximations of the global solutions. On the basis of networks consisting of one-dimensional domains, we present an extension of the RBEM which remedies this problem and provides a good basis representation for each individual edge. Essentially this extension makes use of a splinebased boundary parametrization in the local basis construction. To substantiate the approximation properties of the basis representation onto the global solution, we develop an error estimate for local basis construction with Proper Orthogonal Decomposition (POD) or POD-Greedy. Additionally, we provide existence, uniqueness and regularity results for parabolic PDEs on networks with one-dimensional domains, which are essential for the error analysis. Finally, we illustrate our method with three examples. The first corresponds to the theory presented and shows two different networks of one-dimensional heat equations with varying thermal conductivity. The second and third problem demonstrates the extensibility of the method to component based domains in two dimensions or nonlinear PDEs. These were parts of the research project Life-cycle oriented optimization for a resource and energy efficient infrastructure, funded by the German Federal Ministry of Education and Research.

Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir die Modellreduktion von parameter-abhängigen parabolischen Differentialgleichungen auf Netzwerken mit variabler Anordnung. Für diese Art von Problemstellung ist die Reduced Basis Element Method (RBEM), welche von Maday und Rønquist entwickelt wurde, eine sinnvolle Wahl, da eine Lösung des gesamten Problems nicht erforderlich ist. Die Methode basiert auf der Idee, für jede einzelne Komponente eine eigene reduzierte Basis zu berechnen und diese dann mit Hilfe der Mortar Element Method zu koppeln. Vor allem bei Netzwerken, die aus zahlreichen Kanten bestehen, kann dieses Vorgehen auch zu Schwierigkeiten führen. Auf Grund der variablen Zusammensetzung des Netzwerks, ist es extrem schwierig die Lösung an den Schnittstellen vorherzusagen. Dies kann zu unzureichenden Basisfunktionen und somit zu einer schlechten Approximation der globalen Lösung führen. Anhand von Netzwerken, die aus eindimensionalen Gebieten bestehen, präsentieren wir eine Erweiterung der RBEM, welche diese Probleme behebt und für jede einzelne Kante eine gute Basisdarstellung zur Verfügung stellt. Die grundlegende Idee ist die Verwendung einer spline-basierten Randparametrisierung in der lokalen Basiskonstruktion. Um die Approximationseigenschaften unserer Basisfunktionen nachzuweisen, entwickeln wir eine Fehlerabschätzung für die lokale Basiskonstruktion mit POD und POD-Greedy. Zusätzlich zeigen wir die Existenz und Eindeutigkeit sowie Regularitätseigenschaften für parabolische Differentialgleichungen auf Netzwerken, bestehend aus eindimensionalen Gebieten, da diese essentiell für die Fehleranalyse sind. Abschließend veranschaulichen wir unsere Methode anhand von drei Beispielen. Das erste basiert auf der präsentierten Theorie und zeigt zwei unterschiedliche Netzwerke, die aus eindimensionalen Wärmeleitungsgleichungen mit unterschiedlichen Wärmeleitkoeffizienten bestehen. Das zweite und dritte Beispiel zeigt die Erweiterbarkeit unseres Ansatzes auf komponenten-basierte Gebiete in 2D und nichtlineare Differentialgleichungen. Beide Beispiele waren Teil des Forschungsprojektes Lebenszyklus orientierte Optimierung einer ressourcen- und energieeffizienten Infrastruktur, welches durch das deutsche Bundesministerium für Bildung und Forschung finanziert wurde.

Series
FAU Studies Mathematics & Physics
Series Nr.
15
Notes
Parallel erschienen als Druckausgabe bei FAU University Press, ISBN: 978-3-96147-155-3
Faculties & Collections
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